Непрерывные и прерывные дифференциалы и производные суждений

6. Непрерывные и прерывные дифференциалы и производные суждений диалектической логики

Л. Г. Крейдик

6.1. Материальная и идеальная точки

Корректное описание объективно-субъективных процессов опирается на понятие материальных и идеальных точек.

Идеальной точкой x_i называем предел последовательности вложенных объемов материальных точек, когда их наибольший поперечник стремится к нулю. Положение идеальной точки определяется ее математическими координатами; в частности, если точка лежит на оси, ее координату и самую точку обычно будем обозначать одним и тем же символом типа x_c.

Материальная точка x_m - любой объект весьма малого объема, размеры которого необходимо принимать во внимание.

Положение материальной точки и ее размеры выражаем с помощью ее произвольной идеальной точки; в частности, если материальная точка лежит на оси, ее положение и размеры будем представлять в виде интервала , где x_c - некоторая идеальная точка материальной точки x_m. Таким образом, в случае линейной материальной точки имеем

. (1.106)

В тексте, ради краткости, материальную точку также будем обозначать символом ее идеальной точки x_c.

6.2. Аддитивные дифференциалы

Взаимные аддитивные параметры точек и соотношения в пределах материальных точек выражаем аддитивными дифференциалами. Различаем четыре основных типа дифференциалов:

. (1.107)

Первый прерывный, интегральный дифференциал описывает конечные вариации, второй дискретный - небольшие вариации, третий кретный - малые вариации, четвертый непрерывный - переменные вариации, принимающие любые сколь угодно малые значения, включая и ноль в соответствующей точке суждения. Конечно, такое деление дифференциалов на типы носит относительный характер.

Аддитивные вариации (дифференциалы) дополняем обратными аддитивными вариациями-дифференциалами в произвольной точке t:

. (1.108)

и в определенной точке :

, (1.109)

где t_k - некоторая характерная идеальная точка материальной точки .

6.3. Аддитивные производные

Обобщенная аддитивная производная определяется выражением

, (1.110)

где и дифференциалы любых типов и обратный дифференциал. Если дифференциалы непрерывны, предел отношения

(1.111)

определяет непрерывную производную. Дифференциалы одного типа образуют средние производные, дифференциалы не одного типа определяют производные различной степени дискретности:

, , , , , , (1.112)

где - некоторое малое приращение аргумента t. Такие производные называем прерывными, дискретными, кретными и т.п.

Материальные и идеальные точки, в которых суждение имеет непрерывную производную, есть точки непрерывного изменения или непрерывного перехода. Материальные точки с прерывными производными определяют точки прерывного изменения или перехода. Прерывные производные выражаем в следующей форме:

, (1.113)

где - изменение переменной t в пределах материальной точки прерывного перехода суждения и - обратный дифференциал. Когда материальная точка стягивается в идеальную, получаем идеальную прерывную производную.

6.4. Характер изменения суждений

Производные, как оппозиты-суждения, позволяют высказывать суждения относительно характера изменения суждения, которое наглядно представляется графиками оппозиты и ее производной.

Нас будут интересовать, прежде всего, точки, в которых суждения претерпевают изломы и скачки, выражающие прерывно-непрерывные переходы в природе. Пусть суждение-оппозита в материальной точке x_m претерпевает прерывный переход на качественной стороне и непрерывный на количественной стороне. Графически это выражается изломом (рис.1-10).

Рис.1-10. Оппозита и ее производная в области излома.

Суждение с изломом представляем логической конструкцией:

, (1.114)

где и - оппозиты, определяющие поведение суждения до и после перехода; и - ступенчатые единичные суждения:

___ , (1.115)

где и функции в точке.

Ступенчатые суждения описывают резкие переходы соответственно от 0 до 1 и от 1 до 0 в пределах материальной точки.

Такие переходы в зависимости от степени их крутизны называем прерывными, дискретными, кретными. Это реальные противоречивые переходы, дискретность которых реализуется через непрерывность. Если материальная точка трансформируется в идеальную точку, ступенчатые суждения переходят в идеальные ступенчатые суждения. Поведение функции (1.114) представляем упрощенной моделью

, (1.116)

где - некоторая предельная точка материальной точки перехода размером и - значения принимаемые суждением в пределах точки перехода, которые лежат на дуге круга радиуса , символизирующего материальную точку графика суждения (рис.1-10).

Полагаем значения суждения слева и справа от точки излома равными значению суждения в самой точке излома, с точностью до вариаций суждения в пределах этой точки:

, (1.117)

причем значения производных слева и справа от точки x_m не равны:

. (1.118)

При малом радиусе суждение имеет в материальной точке x_m

а) левую производную, определяющую наклон касательной :

; (1.119)

б) правую производную, определяющую наклон касательной

; (1.120)

в) множество промежуточных производных, значения которых непрерывно заполняют интервал , и определяют множество наклонов промежуточных касательных :

. (1.121)

В материальной точке излома производную можно представить функциональной конструкцией:

, , (1.122)

где - скачек производной. Во всем интервале изменения суждения имеем:

(1.123)

где первое и третье слагаемое определяют изменение производной до и после скачка.

Если положить:

, (1.124)

тогда

. (1.125)

Здесь первое слагаемое - непрерывная составляющая производной вне материальной точки . Второе слагаемое определяет дискретную составляющую производной в пределах материальной точки. Таким образом, производная, определяемая формулой (1.125), есть непрерывно-прерывная производная.

Если производная не имеет в материальной точке излома, т.е. ее производные слева и справа равны: , тогда вторая производная в материальной точке принимает вид

. (1.126)

6.5. Обобщенный обратный дифференциал

Так как средняя производная ступенчатого единичного суждения в материальной точке x_m равна обратному дифференциалу:

, где (см. рис.1.5), (1.127)

то имеет смысл ввести обобщенный обратный дифференциал, определяя его как обратный дифференциал-функцию , равный производной ступенчатого единичного суждения в материальной точке x_m:

. (1.128)

Таким образом, можно говорить о двух обратных дифференциалах: дифференциале - средней производной и дифференциале - мгновенной производной в материальной точке x_m. В дальнейшем, ради простоты, обратные дифференциалы обоих типов называем просто обратными дифференциалами. Когда материальная точка x_m стягивается в идеальную точку x_c, обратный дифференциал-функция обращается в идеальный предельный обратный дифференциал, равный d -функции.

Рис.1-11. Обратный дифференциал и его первые две производные

Оперируя обратным дифференциалом, представим вторую производную суждения в материальной точке в виде:

. (1.129)

График обратного дифференциала-функции, имеющий вид весьма сжатого импульса, полностью определяет изменение n-ой производной в точке x_m, если отсутствуют изломы производных:

. (1.130)

На рис.1-11 представлены графики обратного дифференциала-функции и его двух первых производных, которые с точностью до постоянного множителя показывают характер изменения производных в точках чистого излома, описываемого на основе предложенной упрощенной модели излома.

6.6. Полная производная суждения

При семейство оппозит S со своими производными переходит в оппозиту с идеальным абсолютно острым изломом (рис.1-12).

Рис.1-12. Функция и ее производная в области идеального излома.

В точке идеального математического излома оппозита имеет:

a) левую производную, определяющую наклон касательной :

; (1.131)

б) правую производную, определяющую наклон касательной :

; (1.132)

в) множество промежуточных производных, значения которых непрерывно заполняют интервал и определяют множество наклонов промежуточных касательных :

. (1.133)

Если в материальной точке выполняются условия:

и (1.134)

суждение претерпевает дискретный переход с дискретной производной в точке перехода:

где . (1.135)

Такой переход называем скачком в материальной точке (рис.1-13). В нем имеет место неформальная количественная прерывность и качественная непрерывность.